在打架过程中咬伤对方中指，导致其流血且指甲翘起，此行为可能涉及故意伤害。根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。但具体是否构成犯罪，还需依据伤情鉴定结果。若对方伤情未达到轻伤及以上程度，则可能不构成犯罪，但仍需承担民事责任。因此，建议及时就医并进行伤情鉴定，以明确法律责任。
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从法律角度，你应：1. 立即就医，保留好所有医疗记录和费用发票；2. 报警并配合警方调查，获取报警回执和相关证明材料；3. 到司法鉴定中心进行伤情鉴定，明确伤害程度；4. 收集现场证据和证人证言，证明自身亦被打；5. 根据伤情鉴定结果和对方要求，决定是否提起反诉或协商赔偿。
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若对方要求赔偿，你可采取以下措施：1. 收集证据，包括医院诊断证明、伤情鉴定报告、现场证人证言等，以证明自身亦被打且对方有过错；2. 评估损失，包括医疗费用、误工费等；3. 与对方协商赔偿事宜，若协商不成，可通过法律途径解决，即向法院提起诉讼，要求法院依法判决赔偿金额。